Question

19．已知数列{a_n}前n项和为S_n，满足${S_n}=2{a_n}-2n（n∈{N^*}）$
（1）证明：{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+2，T_n为数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2n化简可得a_n+1+2=2（a_n+2），易知a₁+2=4≠0，从而证明{a_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列；从而求通项公式；
（2）化简b_n=log₂（a_n+2）=n+1，从而得到$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用裂项求和法求T_n．

解答 解：（1）证明：∵S_n=2a_n-2n，∴S_n+1=2a_n+1-2（n+1），
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，
∴a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
又∵a₁+2=4≠0，
∴{a_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
故a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故a_n=2ⁿ⁺¹-2；
（2）∵b_n=log₂（a_n+2）=n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查了等比数列的判断与等比数列的通项公式的应用，同时考查了对数运算及裂项求和法的应用．