已知函数,;
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在[1,2]上是减函数,求实数的取值范围;
(3)令,是否存在实数,当 (是自然对数的底数)时,函数的最小值是.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(1)当时,函数的单调递减区间为,递增区间为;(2)若函数在[1,2]上是减函数的取值范围是;(3) 存在使得当时,有最小值.
解析试题分析:(1)当时,,求导的,分别解不等式和,可得函数的单调递减区间和单调递增区间;(2)求导函数,利用函数在区间上是减函数,可得在上恒成立,考查函数,问题转化为二次函数在闭区间上的值:在上恒成立,列不等式求参数的取值范围;(3)假设存在实数,使得有最小值3,写出函数的表达式,求导函数,分,,三种情况讨论,确定函数的单调性,利用函数的最小值是3,即可求出实数的值.
试题解析:(1)当时,,由,得
故其单调递减和递增区间分别是. 3分
(2)在上恒成立 5分
令,,∴在上恒成立,
∴得,∴ .8分
(3)假设存在实数,使得有最小值3,
9分
①当时,,在上单调递减,
∴(舍去) 10分
②当,即时,在上,;在上,,在上单调递减,在上单调递增,满足条件.
③当,即时,在上单调递减,(舍去).
综上所述,存在使得当时,有最小值.
考点:1.导数的运算;2.利用导数研究函数的单调性;3.利用导数求函数的最值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.
(1)当,时,求函数的最大值;
(2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;
(3)当,时,方程有唯一实数解,求正数的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数在上是增函数,
(1)求实数的取值集合;
(2)当取值集合中的最小值时,定义数列;满足且,,求数列的通项公式;
(3)若,数列的前项和为,求证:.
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已知函数若函数在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
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