Question

已知的离心率为，直线l：x-y=0与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，曲线C₂以x轴为对称轴．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，曲线C₂上任意一点M到l₁距离与MF₂相等，求曲线C₂的方程．
（3）若A（x₁，2），C（x，y），是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据离心率求得a和c的关系，进而根据直线l与圆相切根据圆心到直线的距离为半径求得b，进而求得a，则椭圆方程可得．
（2））根据|MP|=|MF₂|可知动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离，进而根据抛物线的定义可知动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，根据定点直线l₁的距离求得抛物线方程中的p，则抛物线方程可得．
（3）由（1）可求得A点坐标，设出B点和C点坐标，表示出和根据AB⊥BC可知•=0，整理得关于y₂的一元二次方程根据判别式大于等于0求得y的范围．
解答：解：（1），
∴，
∴2a²=3b²
∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切，
∴=b，
∴b=，b²=2，
∴a²=3．
∴椭圆C₁的方程是
（2）∵|MP|=|MF₂|，
∴动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离
∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，
∴，p=2，
∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．
（3）由（1）知A（1，2），，y₂≠2，①则，
又因为，，
整理得y₂²+（y+2）y₂+16+2y=0，则此方程有解，
∴△=（y+2）²-4•（16+2y）≥0解得y≤-6或y≥10，又检验条件①：
∵y₂=2时y=-6，不符合题意．
∴点C的纵坐标y的取值范围是（-∞，-6）∪[10，+∞）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及了圆锥曲线方程，方程的根，与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等问题，是近几年高考的趋向．