Question

2．已知正项数列{a_n}，$\frac{n}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$=$\frac{2}{n+2}$（n∈N^*），求数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析 利用递推关系即可得出．

解答 解：正项数列{a_n}，$\frac{n}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$=$\frac{2}{n+2}$（n∈N^*），∴a₁=$\frac{3}{2}$．
∴a₁+2a₂+…+na_n=$\frac{n（n+2）}{2}$，
n≥2时，a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）（n+1）}{2}$，
相减可得：na_n=$\frac{n（n+2）}{2}$-$\frac{（n-1）（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{2n+1}{2n}$．
对n=1验证${a_n}=\frac{2n+1}{2n}$成立．
∴${a_n}=\frac{2n+1}{2n}$．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．