Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N^*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（1-a_n），n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N^*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题设条件进行恒等变形，构造a_n-1=c（a_n-1-1），利用迭代法，即可求数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项，利用错位相减法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知a_n=（a-1）c^n-1+1．接合题设条件得0＜c^n-1＜

1

1-a

，再用反证法得出c的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设得：n≥2时，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
当n=1时，a₁=a也满足上式．
故所求的数列{a_n}的通项公式为：a_n=（a-1）c^n-1+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=n（1-a_n）=n•(

1

2

)n
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
∴两式相减可得

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴S_n=2-(2+n)•(

1

2

)n
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，则0＜（1-a）c^n-1＜1．
因为0＜a₁=a＜1，∴0＜c^n-1＜

1

1-a

（n∈N₊）．
由于c^n-1＞0对于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1，由函数f（x）=c^x的图象知，当n→+∞时，c^n-1→+∞，
所以c^n-1＜

1

1-a

不能对任意n∈N₊恒成立，导致矛盾．
∴c≤1，因此0＜c≤1．

点评：本题主要考查数列的概念、数列通项公式的求法以及不等式的证明等，考查运算能力，属于中档题．