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(本小题满分12分)

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,

求点A到平面MBC的距离;

求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一:(1)取CD中点O,连OBOM,则OBCD

OMCD.又平面平面,则MO⊥平面,所以MOABABOM共面.延长AMBO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=MOAB,MO//面ABC,M、O到平面ABC的距离相等,作OHBC于H,连MH,则MHBC,求得:

OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得:

(2)CE是平面与平面的交线.

由(1)知,OBE的中点,则BCED是菱形.

BFECF,连AF,则AFEC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为.

因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.

所以,所求二面角的正弦值是.

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决

解法二:取CD中点O,连OBOM,则OBCDOMCD,又平面平面,则MO⊥平面.

O为原点,直线OCBOOMx轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图.

OB=OM=,则各点坐标分别为O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2),

(1)设是平面MBC的法向量,则

,由;由;取,则距离

(2).

设平面ACM的法向量为,由.解得,取.又平面BCD的法向量为,则

设所求二面角为,则.

【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见,此类方法的要点在于建立恰当的坐标系,便于计算,位置关系明确,以计算代替分析,起到简化的作用,但计算必须慎之又慎

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3
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ON
|=6,
ON
=
5
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.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
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(H)已知直线L与双曲线C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q两点(其中点P在第-象限).线段OP交轨迹C于A,若
OP
=3
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