Question

18．在焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[3b²，4b²]，则椭圆离心率的范围是（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• D． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为：y=kx，（假设k＞0）．与椭圆方程联立可得矩形ABCD的面积S=4|xy|=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，变形利用基本不等式的性质及其已知即可得出．

解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为：y=kx，（假设k＞0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴矩形ABCD的面积S=4|xy|=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}k}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{\frac{{b}^{2}}{k}+{a}^{2}k}$≤$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{2\sqrt{\frac{{b}^{2}}{k}•{a}^{2}k}}$=2ab，当且仅当k=$\frac{b}{a}$时取等号．
∴3b²≤2ab≤4b²，
解得$\frac{1}{2}≤\frac{b}{a}≤\frac{2}{3}$．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．