Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为

2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义及性质、点到直线的距离公式即可求出；
（2）若以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，则|MQ|=|MP|，把直线l的方程与椭圆的方程联立并利用根与系数的关系即可得出．

解答：解：（1）由题意设此椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，过右焦点F且斜率为1的直线的方程为：y=x-c，
则

c a = 2 2 c 2 = 2 2 a2=b2+c2

解得

c=1 a= 2 b=1

，∴题意的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与x轴不垂直，
所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

 可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
由△＞0恒成立，∴x1+x2=

4k2

1+2k2

．（*）
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴|MQ|=|MP|，
∴

(x2-m)2+y22

=

(x1-m)2+y12

，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
化为(1+k2)(x1+x2)-2m-2k2=0，
把（*）代入上式得(1+k2)×

4k2

1+2k2

-2m-2k2=0，
化为m=

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

，
∵k²＞0，∴0＜m＜

1

2

．

点评：熟练掌握椭圆的定义及性质、点到直线的距离公式、菱形的性质、直线与椭圆的相交问题的解题模式、一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．