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【题目】已知数集A={a1 , a2 , …,an}(1=a1<a2<…<an , n≥2)具有性质P:对任意的k(2≤k≤n),i,j(1≤i≤j≤n),使得ak=ai+aj成立.
(Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(Ⅱ)求证:an≤2a1+a2+…+an1(n≥2);
(Ⅲ)若an=72,求数集A中所有元素的和的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)因为 3≠1+1,所以{1,3,4}不具有性质P. 因为 2=1×2,3=1+2,6=3+3,所以{1,2,3,6}具有性质P
(Ⅱ)因为集合A={a1 , a2 , …,an}具有性质P:
即对任意的k(2≤k≤n),i,j(1≤i≤j≤n),使得ak=ai+aj成立,
又因为1=a1<a2<…<an , n≥2,所以ai<ak , aj<ak
所以ai≤ak1 , aj≤ak1 , 所以ak=ai+aj≤2ak1
即an1≤2an2 , an2≤2an3 , …,a3≤2a2 , a2≤2a1
将上述不等式相加得a2+…+an1+an≤2(a1+a2+…+an1
所以an≤2a1+a2+…+an1
(Ⅲ)最小值为147.
首先注意到a1=1,根据性质P,得到a2=2a1=2
所以易知数集A的元素都是整数.
构造A={1,2,3,6,9,18,36,72}或者A={1,2,4,5,9,18,36,72},这两个集合具有性质P,此时元素和为147.
下面,我们证明147是最小的和
假设数集A={a1 , a2 , …,an}(a1<a2<…<an , n≥2),满足 最小(存在性显然,因为满足 的数集A只有有限个).
第一步:首先说明集合A={a1 , a2 , …,an}(a1<a2<…<an , n≥2)中至少有8个元素:
由(Ⅱ)可知a2≤2a1 , a3≤2a2
又a1=1,所以a2≤2,a3≤4,a4≤8,a5≤16,a6≤32,a7≤64<72,
所以n≥8
第二步:证明an1=36,an2=18,an3=9:
若36∈A,设at=36,因为an=72=36+36,为了使得 最小,在集合A
中一定不含有元素ak , 使得36<ak<72,从而an1=36;
假设36A,根据性质P,对an=72,有ai , aj , 使得an=72=ai+aj
显然ai≠aj , 所以an+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有5个不同于an , ai , aj的元素,
从而S>(an+ai+aj)+5a1=149,矛盾,
所以36∈A,进而at=36,且an1=36;
同理可证:an2=18,an3=9
(同理可以证明:若18∈A,则an2=18).
假设18A.
因为an1=36,根据性质P,有ai , aj , 使得an1=36=ai+aj
显然ai≠aj , 所以an+an1+ai+aj=144,
而此时集合A中至少还有4个不同于an , an1 , ai , aj的元素
从而S>an+an1+ai+aj+4a1=148,矛盾,
所以18∈A,且an2=18
同理可以证明:若9∈A,则an3=9
假设9A
因为an2=18,根据性质P,有ai , aj , 使得an2=18=ai+aj
显然ai≠aj , 所以an+an1+an2+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有3个不同于an , an1 , an2 , ai , aj的元素
从而S>an+an1+an2+ai+aj+3a1=147,矛盾,
所以9∈A,且an3=9)
至此,我们得到了an1=36,an2=18,an3=9ai=7,aj=2.
根据性质P,有ai , aj , 使得9=ai+aj
我们需要考虑如下几种情形:
①ai=8,aj=1,此时集合中至少还需要一个大等于4的元素ak , 才能得到元素8,
则S>148;
②,此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak , 才能得到元素7,
则S>148;
③ai=6,aj=3,此时集合A={1,2,3,6,9,18,36,72}的和最小,为147;
④ai=5,aj=4,此时集合A={1,2,4,5,9,18,36,72}的和最小,为147
【解析】(Ⅰ)利用性质P的概念,对数集{1,3,4}与{1,2,3,6}判断即可;(Ⅱ)利用集合A={a1 , a2 , …,an}具有性质P,可分析得到ai≤ak1 , aj≤ak1 , 从而ak=ai+aj≤2ak1 , (k=2,3,…n),将上述不等式相加得a2+…+an1+an≤2(a1+a2+…+an1) 即可证得结论;(Ⅲ)首先注意到a1=1,根据性质P,得到a2=2a1=2,构造A={1,2,3,6,9,18,36,72}或者A={1,2,4,5,9,18,36,72},这两个集合具有性质P,此时元素和为147.
再利用反证法证明满足S= ≤147最小的情况不存在,从而可得最小值为147.

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