Question

椭圆（a＞b＞0），直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点在椭圆C上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标和的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）确定椭圆的焦点，利用点在椭圆C上，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（II）直线y=k（x-1）与椭圆方程联立，利用韦达定理，确定MN垂直平分线方程，|MN|，可得P的坐标，从而可得结论．
解答：解：（I）由题意，椭圆的一个焦点为（1，0），
又∵点在椭圆C上，
∴
∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的方程为；
（II）存在，
直线y=k（x-1）与椭圆方程联立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，
∴
∴MN垂直平分线方程为
令y=0，可得x=
∴P（，0），
设Q（a，0），则|PQ|=
∵|MN|==，
∴=
∴a=7时，=
∴Q（7，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．