【题目】已知椭圆的离心率为,、是椭圆的左、右焦点,过作直线交椭圆于、两点,若的周长为8.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线的斜率不为0,且它的中垂线与轴交于,求的纵坐标的范围;
(3)是否在轴上存在点,使得轴平分?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,.
【解析】
试题分析: (1)由题意列出关于的方程组,求出值即可;(2)设出直线方程,与椭圆方程联立后根据韦达定理将中点用斜率表示,进而中垂线用表示,最后纵坐标用表示再利用基本不等式求出最值;(3)假设存在,利用,列出关于的等式,该等式对任意都成立可求得符合条件的.
试题解析:(1)依题意得,解得,所以方程为.
(2)当不存在时,为原点,,当存在时,则,可得,则,
设弦的中点为,则,,则,令,有,
综上所述,的纵坐标的范围为.
(3)存在.假设存在,由轴平分可得,,即,有,
将式代入有,解得.
考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值;2、解析几何中的存在性问题.
【名师点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值以及解析几何中的存在性问题,属于难题.解决存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在(或者方程有解就存在,没解就不存在),注意:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法题很难时采取另外的途径.
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【题目】甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以表示和为6的事件,求;
(2)现连玩三次,若以表示甲至少赢一次的事件,表示乙至少赢两次的事件,试问与是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,是椭圆的右顶点,直线分别与轴交于点,问:以为直径的圆是否恒过轴上的定点?若存在,请求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-1:几何证明选讲
已知中,,是外接圆劣弧AC上的点(不与点重合),延长至。
(1)求证: 的延长线平分;
(2)若,中边上的高为,求外接圆的面积。
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【题目】从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为( )
A.8
B.10
C.12
D.16
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