Question

已知数列{a}中,a=2,前n项和为S,且S=.

(1)证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列,并求出数列{a_n}的通项公式

(2)设b_n=,数列{b_n}的前n项和为T_n,求使不等式T_n>

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值

Answer 1

(1) a_n=n(n∈N^*)   (2) k的最大值为18

解析:

(1)由题意,当n=1时,a₁=S₁=,则a₁=1,

a₂=2,则a₂-a₁=1,

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=-=[na_n-(n-1)a_n-1+1]

a_n+1=[(n+1)a_n+1-na_n+1]      

则a_n+1-a_n=[(n+1)a_n+1-2na_n+(n-1)a_n-1],

即(n-1)a_n+1-2(n-1)a_n+(n-1)a_n-1=0,

即a_n+1-2a_n+a_n-1=0,   即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1

则数列{a_n+1-a_n}是首项为1,公差为0的等差数列.

从而a_n-a_n-1=1,,则数列{a_n}是首项为1,公差为1的等差数列,

所以,a_n=n(n∈N^*)                 

(2)b_n===(- )

所以,T_n=b₁+b₂+…+b_n=[(1-)+(-)+…+(-)]

=(1-)=                   

由于T_n+1-T_n=-=>0,

因此T_n单调递增,故T_n的最小值为T₁=

令>,得k<19,所k的最大值为18