Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，-2），B（1，1）两点，且圆心在直线x-2y-2=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过圆C内一点P（1，-1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积．
（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为$\frac{2}{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线x-2y-2=0联立，求得圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（2）C到直线EF，GH的距离相等，设为d，求出d后，进而求出EF=GH，进而得到答案．
（3）求出PQ=4，分类讨论，利用坐标原点O到直线l的距离为$\frac{1}{5}$，即可求直线l的方程

解答 解：（1）因为A（2，-2），B（1，1），
所以k_AB=$\frac{-2-1}{2-1}$=-3，AB的中点为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
故线段AB的垂直平分线的方程为y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），即x-3y-3=0，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x-3y-3=0\\ x-2y-2=0\end{array}\right.$，解得圆心坐标为（0，-1）．…（3分）
所以半径r满足r²=1²+（-1-1）²=5．…（4分）
故圆C的标准方程为x²+（y+1）²=5．…（5分）
（2）∵EF=GH，
∴C到直线EF，GH的距离相等，设为d     …（6分）
则$\sqrt{2}d$=1，即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（7分）
∴EF=GH=2$\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{2}$…（8分）
∴四边形EGFH的面积S=$\frac{1}{2}$×$（3\sqrt{2}）^{2}$=9…（9分）
（3）设坐标原点O到直线l的距离为h，
因为△POQ的面积S=$\frac{1}{2}×4h$=$\frac{2}{5}$，
∴h=$\frac{1}{5}$．
①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为$\frac{1}{5}$知，直线l的方程为x=$\frac{1}{5}$或x=-$\frac{1}{5}$，
经验证，此时PQ≠4，不适合题意；             …（11分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，
由坐标原点到直线l的距离为h=$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{5}$，得k²+1=25b²  （*），…（12分）
又圆心到直线l的距离为c=$\frac{|1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，所以PQ=2$\sqrt{5-{c}^{2}}$=4，
即k²+1=（1+b）²    （**），…（13分）
由（*），（**）解得$\left\{\begin{array}{l}k=±\frac{3}{4}\\ b=\frac{1}{4}\end{array}\right.$．…（15分）
综上所述，直线l的方程为3x+4y-1=0或3x-4y+1=0．…（16分）

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．