Question

（2012•江苏二模）已知函数f(x)=sin(

π

4

+x)sin(

π

4

-x)+

3

sinxcosx(x∈R)
（1）求f(

π

6

)的值；
（2）在△ABC中，若f(

π

2

)=1，求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）+

3

sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+

π

6

），即可求得f（

π

6

）的值；
（2）由A为三角形的内角，f（

A

2

）=sin（2A+

π

6

）=1可求得A=

π

3

，从而sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．

解答：（1）∵f（x）=sin（

π

4

+x）sin（

π

4

-x）+

3

sinxcosx
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x…（2分）
=sin（2x+

π

6

），…（4分）
∴f（

π

6

）=1．…（6分）
（2）由f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）=1，
而0＜A＜π可得：
A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

．（8分）
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

3

）．…（12分）
∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜π，0＜sin（B+

π

3

）≤1，
∴sinB+sinC的最大值为

3

．…（14分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查三角函数的辅助角公式的应用，考查分析与推理能力，属于中档题．