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(2012•江苏二模)已知函数f(x)=sin(
π
4
+x)sin(
π
4
-x)+
3
sinxcosx(x∈R)

(1)求f(
π
6
)
的值;
(2)在△ABC中,若f(
π
2
)=1
,求sinB+sinC的最大值.
分析:(1)利用倍角公式与辅助角公式将f(x)=sin(
π
4
+x)sin(
π
4
-x)+
3
sinxcosx化为:f(x)=sin(2x+
π
6
),即可求得f(
π
6
)的值;
(2)由A为三角形的内角,f(
A
2
)=sin(2A+
π
6
)=1可求得A=
π
3
,从而sinB+sinC=sinB+sin(
3
-B),展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值.
解答:(1)∵f(x)=sin(
π
4
+x)sin(
π
4
-x)+
3
sinxcosx
=
1
2
cos2x+
3
2
sin2x…(2分)
=sin(2x+
π
6
),…(4分)
∴f(
π
6
)=1.…(6分)
(2)由f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1,
而0<A<π可得:
A+
π
6
=
π
2
,即A=
π
3
.(8分)
∴sinB+sinC=sinB+sin(
3
-B)=
3
2
sinB+
3
2
cosB=
3
sin(B+
π
3
).…(12分)
∵0<B<
3

π
3
<B+
π
3
<π,0<sin(B+
π
3
)≤1,
∴sinB+sinC的最大值为
3
.…(14分)
点评:本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,着重考查三角函数的辅助角公式的应用,考查分析与推理能力,属于中档题.
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(1)若α∥β,m?β,n?α,则m∥n;
(2)若α∥β,m⊥β,n∥α,则m⊥n;
(3)若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m∥n;
(4)若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n.
上面命题中,所有真命题的序号为
(2),(4)
(2),(4)

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AB
AC
=
π2
8
π2
8

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(2012•江苏二模)如图,在C城周边已有两条公路l1,l2在点O处交汇,现规划在公路l1,l2上分别选择A,B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城,已知OC=(
2
+
6
)km
,∠AOB=75°,∠AOC=45°,设OA=xkm,OB=ykm.
(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域;
(2)试确定点A、B的位置,使△OAB的面积最小.

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(2012•江苏二模)设实数n≤6,若不等式2xm+(2-x)n-8≥0对任意x∈[-4,2]都成立,则
m4-n4
m3n
的最小值为
-
80
3
-
80
3

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(2012•江苏二模)已知双曲线
x2
m
-
y2
3
=1(m>0)
的一条渐近线方程为y=
3
2
x
,则m的值为
4
4

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