【题目】设函数.
(1)若是函数
的极值点,1为函数
的一个零点,求函数
在
上的最小值.
(2)当时,函数
与
轴在
内有两个不同的交点,求
的取值范围.(其中
是自然对数的底数)
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析: (1)由题,且
,列式解得
,
,再求导求函数
的最小值即可.
(2)由,得
,易知
,
;
时,
;于是,函数
在
单调递减,在
单调递增,分
和
两种情况讨论可得
的取值范围是
.
试题解析:(1),∵
是函数
的极值点,
∴,
∵1是函数的零点,得
,
由,解得
,
,
∴,
,
令,
,得
;
令得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以函数的最小值为
.
(2)当时,
,则
,
由得
,该方程的判别式
,
因为,所以由
,得
,易知
,
;
时,
;于是,函数
在
单调递减,在
单调递增,
若,则
在
上单调递减,不符合题意,所以
,
当时,
,又由函数
与
轴在
内有两个不同的交点,
所以,且
,
,解得
,
因为,
所以,
令,知函数
在
上单调递减,又
,
所以,即
,解得
,
综上所述,实数的取值范围是
.
点晴:本题考查函数导数与单调性,函数零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
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【题目】已知函数f(x)=4x﹣2x+1+3,当x∈[﹣2,1]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,
(1)若角α的终边经过点P(m,n),求sinα+cosα的值;
(2)g(x)=mcos(nx+)+n,求g(x)的最大值及自变量x的取值集合.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点
,焦点在
轴上,椭圆
的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆
上任意一点到两个焦点的距离之和为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】设函数fk(x)=xk+bx+c(k∈N* , b,c∈R),g(x)=logax(a>0,a≠1).
(1)若b+c=1,且fk(1)=g( ),求a的值;
(2)若k=2,记函数fk(x)在[﹣1,1]上的最大值为M,最小值为m,求M﹣m≤4时的b的取值范围;
(3)判断是否存在大于1的实数a,使得对任意x1∈[a,2a],都有x2∈[a,a2]满足等式:g(x1)+g(x2)=p,且满足该等式的常数p的取值唯一?若存在,求出所有符合条件的a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,b=2c,求△ABC的面积.
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【题目】已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两点.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M,N,问:x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品、
,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安排.通过调查,有关数据如下表:
产品A(件) | 产品B(件) | ||
研制成本、搭载费用之和(万元) | 20 | 30 | 计划最大资金额300万元 |
产品重量(千克) | 10 | 5 | 最大搭载重量110千克 |
预计收益(万元) | 80 | 60 |
如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
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