设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
解:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为, 解方程组得,即, 则△=,即
要使,需使,即,所以 , 所以又, 所以,所以,即或, 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,,, 所求的圆为,此时圆的切线都满足或, 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以,
, ①当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取“=”. ②时,. ③当AB的斜率不存在时,两个交点为或, 所以此时, 综上,|AB|的取值范围为.即: |
科目:高中数学 来源:河南省卫辉市第一中学2012届高三4月考试数学理科试题 题型:044
设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⊥?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
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科目:高中数学 来源:河南省卫辉市第一中学2012届高三4月考试数学文科试题 题型:044
设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⊥?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2011年安徽省阜阳市高三质量检测数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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