Question

设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，则对、，?λ∈R，下列结论恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

Answer 1

【答案】分析：由映射f的对应法则，可得f（）将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量．由此对C项进行证明，可得对任意向量均有f（||•）=f（）成立，得C正确；而对于A、B、D利用映射f的对应法则结合向量的运算性质，分别举出反例加以说明，即可得到A、B、D均不正确．由此得到本题答案．
解答：解：根据题意，映射f（）的对应法则是将零向量对应到零向量，
将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得
对于A，若向量是方向相反且模不相等的两个非零向量，
则，且=+=，
所以，得A项不正确；
对于B，若向量是方向相反且模不相等的两个非零向量，则||•+||不是零向量，
可得f（||•+||）=
而f[f（）+f（）]=f（）=，故f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得B项不正确；
对于C，若=，则f（||•）=f（）=；
若≠，则f（||•）=且f（）=，得f（||•）=f（）
由以上的分析，可得对任意向量，均有f（||•）=f（）成立，故C项正确；
对于D，若向量且，则f（||•+||）=f（）=
而f[f（）+f（）]=f[+•）=•，
因此，f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得D项不正确
故选：C
点评：本题给出定义域为向量集的一个映射f，要我们验证关于映射f的几个等式中哪一个正确．着重考查了平面向量的线性运算法则和映射的概念等知识，属于中档题．