Question

已知抛物线C：y²=x，过定点A（x₀，0）(x0≥

1

8

)，作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ．求证：点B的坐标是（-x₀，0）并求点B到直线l的距离d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的焦点坐标，然后假设直线l的方程为：x=ny+

1

4

，将P，Q的坐标设出，联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和，然后根据|PQ|的长度得到n的值．
（2）先设l：x=my+x₀（m≠0），再根据对称性得到点M的坐标，联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积，表示出

BM

和

BP

根据

BM

∥

BP

，得到关系式x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．再代入两根之和、两根之积可证明点B的坐标是（-x₀，0）．先确定△BMQ为等腰直角三角形，得到k_PB=1，再表示出点B到直线l的距离d即可求范围．

解答：解：（Ⅰ）由抛物线C：y²=x得抛物线的焦点坐标为(

1

4

，0)，
设直线l的方程为：x=ny+

1

4

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y2=x x=ny+ 1 4

得y2-ny-

1

4

=0．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．因为x1=ny1+

1

4

，x2=ny2+

1

4

，
所以|PQ|=x1+

1

4

+x2+

1

4

=x1+x2+

1

2

=n(y1+y2)+1=2．
所以n²=1．即n=±1．
所以直线l的方程为：x-y-

1

4

=0或x+y-

1

4

=0．
（Ⅱ）设l：x=my+x₀（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₂，-y₂）．
由

x=my+x0 y2=x

得y²-my-x₀=0．
因为x0≥

1

8

，所以△=m²+4x₀＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x₀．
（ⅰ）设B（x_B，0），则

BM

=(x2-xB，-y2)，

BP

=(x1-xB，y1)．
由题意知：

BM

∥

BP

，∴x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．
即（y₁+y₂）x_B=x₁y₂+x₂y₁=y₁²y₂+y₂²y₁=（y₁+y₂）y₁y₂．
显然y₁+y₂=m≠0，∴x_B=y₁y₂=-x₀．∴B（-x₀，0）．
（ⅱ）由题意知：△BMQ为等腰直角三角形，∴k_PB=1，
即

y1+y2

x1-x2

=1，即

y1+y2

y12-y22

=1．∴y₁-y₂=1．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=1．∴m²+4x₀=1．∴m²=1-4x₀＞0．
∴x0＜

1

4

．∵x0≥

1

8

，∴

1

8

≤x0＜

1

4

．
∴d=

2x0

m2+1

=

2x0

2-4x0

=

2

( 1 x0 )2-2( 1 x0 )

=

2

( 1 x0 -1)2-1

∈[

6

12

，

1

2

)．
即d的取值范围是[

6

12

，

1

2

)．

点评：本题主要考查抛物线和直线的综合题．圆锥曲线和直线的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．