Question

已知函数f(x)=2(sin2x+

3

2

)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=

3

成立的x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的解析式，及和差角公式，我们可将函数的解析式化简为正弦型函数的形式，求出A及ω值后，易得函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）根据化简后的解析式，结合x∈[0，2π]，我们可求出使f(x)=

3

成立的x的值．

解答：解：∵f(x)=2(sin2x+

3

2

)cosx-sin3x
=2(sin2x+

3

2

)cosx-sin(2x+x)
=2sin2xcosx+

3

cosx-sin2xcosx-cos2xsinx
=sin2xcosx-cos2xsinx+

3

cosx
=sinx+

3

cosx
=2sin（x+

π

3

）
（1）∵A=2，ω=1
∴y_max=2，y_min=2，T=2π
即函数f（x）的值域为[-2，2]和最小正周期为2π；
（2）若f(x)=

3

则sin（x+

π

3

）=

3

2

又∵x∈[0，2π]
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
则x+

π

3

∈{

π

3

，

2π

3

，

7π

3

}
则x={0，

π

3

，2π}
使f(x)=

3

成立的x的值为0或

π

3

或2π

点评：本题考查的知识点是和差角公式，三角函数的周期，值域，三角函数给值求角，其中（2）中易忽略x=2π也满足条件．