Question

已知数列{a_n}中，a₁=t（t∈R，且t≠0，1），a₂=t²，且当x=t时，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得极值?
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nln|a_n|（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）当时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由?

Answer 1

解：（1）由f'（t）=0，
得（a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）
又a₂-a₁=t（t-1），t≠0且t≠1，
∴a₂-a₁≠0，
∴
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为t²-t，公比为t的等比数列
（2）由（1）知a_n+1-a_n=tⁿ⁺¹-tⁿ，
∴a_n-a_n-1=tⁿ-t^n-1，
∴a_n-1-a_n-2=t^n-1-t^n-2，
…
a₂-a₁=t²-t，
上面n-1个等式相等并整理得a_n=tⁿ．（t≠0且t≠1）
b_n=a_nln|a_n|=tⁿ•ln|tⁿ|=ntⁿ•ln|t|．
∴S_n=（t+2•t²+3•t³++n•tⁿ）ln|t|，
tS_n=[t²+2•t³++（n-1）tⁿ+n•tⁿ⁺¹]ln|t|，
两式相减，并整理得
（3）∵
∴当n为偶数时，b_n=ntⁿln|t|＜0；
当n为奇数时，b_n=ntⁿln|t|＞0，∴最大项必须为奇数项
设最大项为：b_2k+1，则有
即：
整理得
将代入上式，解得
∵k∈N⁺
∴k=2，即数列{b_n}中的最大项是第5项
分析：（1）根据当x=t时，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得极值，求导，得到f'（t）=0，即a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）整理可证；
（2）由（1），利用累加法即可求得数列{a_n}的通项公式，可求数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求和；
（3）根据（2）去绝对值符号，对n分奇偶讨论，解不等式组即可证明结果．
点评：此题是个难题．考查等比数列的定义和通项公式，累加法求数列通项公式以及错位相减法求数列的前n项和，体现了分类讨论的思想．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．