解:(1)由f'(t)=0,
得(a
n-a
n-1)t=a
n+1-a
n(n≥2)
又a
2-a
1=t(t-1),t≠0且t≠1,
∴a
2-a
1≠0,
∴
∴数列{a
n+1-a
n}是首项为t
2-t,公比为t的等比数列
(2)由(1)知a
n+1-a
n=t
n+1-t
n,
∴a
n-a
n-1=t
n-t
n-1,
∴a
n-1-a
n-2=t
n-1-t
n-2,
…
a
2-a
1=t
2-t,
上面n-1个等式相等并整理得a
n=t
n.(t≠0且t≠1)
b
n=a
nln|a
n|=t
n•ln|t
n|=nt
n•ln|t|.
∴S
n=(t+2•t
2+3•t
3++n•t
n)ln|t|,
tS
n=[t
2+2•t
3++(n-1)t
n+n•t
n+1]ln|t|,
两式相减,并整理得
(3)∵
∴当n为偶数时,b
n=nt
nln|t|<0;
当n为奇数时,b
n=nt
nln|t|>0,∴最大项必须为奇数项
设最大项为:b
2k+1,则有
即:
整理得
将
代入上式,解得
∵k∈N
+∴k=2,即数列{b
n}中的最大项是第5项
分析:(1)根据当x=t时,f(x)=
(a
n-a
n-1)x
2-(a
n+1-a
n)x(n≥2)取得极值,求导,得到f'(t)=0,即a
n-a
n-1)t=a
n+1-a
n(n≥2)整理可证;
(2)由(1),利用累加法即可求得数列{a
n}的通项公式,可求数列{b
n}的通项公式,再利用错位相减法求和;
(3)根据(2)去绝对值符号,对n分奇偶讨论,解不等式组即可证明结果.
点评:此题是个难题.考查等比数列的定义和通项公式,累加法求数列通项公式以及错位相减法求数列的前n项和,体现了分类讨论的思想.其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.