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4.如图,在二面角A-CD-B中,BC⊥CD,BC=CD=2,点A在直线AD上运动,满足AD⊥CD,AB=3.现将平面ADC沿着CD进行翻折,在翻折的过程中,线段AD长的取值范围是$[\sqrt{5}-2,\sqrt{5}+2]$.

分析 根据条件利用向量法得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$,利用三角函数的有界性转化为不等式问题进行求解就可.

解答 解:由题意得$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{DC}$,$\overrightarrow{DC}$⊥$\overrightarrow{CB}$,
设平面ADC沿着CD进行翻折过程中,二面角A-CD-B的夹角为θ,
则<$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{CB}$>=θ,
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$,
∴平方得$\overrightarrow{AB}$2=$\overrightarrow{AD}$2+$\overrightarrow{DC}$2+$\overrightarrow{CB}$2+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$+2$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{CB}$,
设AD=x,∵BC=CD=2,AB=3
∴9=x2+4+4-4cosθx,
即x2-4cosθx-1=0,
即cosθ=$\frac{{x}^{2}-1}{4x}$
∵-1≤cosθ≤1,
∴-1≤$\frac{{x}^{2}-1}{4x}$≤1,
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤4x}\\{{x}^{2}-1≥-4x}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x-1≤0}\\{{x}^{2}+4x-1≥0}\end{array}\right.$,
则$\left\{\begin{array}{l}{2-\sqrt{5}≤x≤2+\sqrt{5}}\\{x≥-2+\sqrt{5}或x≤-2-\sqrt{5}}\end{array}\right.$.
∵x>0,∴$\sqrt{5}$-2≤x≤$\sqrt{5}$+2,
即AD的取值范围是$[\sqrt{5}-2,\sqrt{5}+2]$,
故答案为:$[\sqrt{5}-2,\sqrt{5}+2]$

点评 本题主要考查二面角的应用,根据向量法进行转化,结合余弦函数的有界性是解决本题的关键.综合性较强,质量较高.

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