Question

设定义在R上的函数f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²＋a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，当时，f (x)取得极大值，并且函数y＝f?? (x)的图象关于y轴对称。

（1）求f (x)的表达式；

（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；

Answer 1

（1）f (x)＝x³－x（2）见解析

解析:

（1）∵f?? (x)＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃为偶函数，∴ f ??(-x) = f ??(x),

∴       -4a₀x³ +3a₁x² -2a₂x + a₃ = 4a₀x³+3a₁x² +2a₂x + a₃,

∴       4a₀x³ + 2a₂x =0对一切x ?? R恒成立，

∴  a₀＝a₂＝0，∴f (x)＝a₁x³＋a₃x  

又当x＝－时，f (x)取得极大值 

∴ 解得∴f (x)＝x³－x，f?? (x)＝2x²－1    4分

⑵解：设所求两点的横坐标为x₁、x₂ (x₁ < x₂)，则(2x₁²－1)(2x₂²－1)＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一个为1，一个为－1，       

∴或 ，∴所求的两点为(0，0)与(1，－)或(0，0)与(－1，)。

⑶证明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。

当0< x < 时，f ?? (x) < 0；当 < x < 1时，f ?? (x)>0。

∴f (x)在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，

又f (0)＝0，f ()＝－ ，f (1)＝－，而f (x)在[－1，1]上为奇函数，

∴f (x)在[－1，1]上最大值为，最小值为－，即 | f (x) | ≤ ,

∴| f (sin x) | ≤ ，| f (cos x)| ≤ ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤