Question

已知数列{a_n}，记A（n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+a₄+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+a₅+…+a_n+2，（n=1，2，3，…），并且对于任意n∈N^*，恒有a_n＞0成立．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

Answer 1

（1）由题意可得2B（n）=A（n）+C（n），
代入可得2（a₂+a₃+a₄+…+a_n+1）=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（a₂+a₃+a₄+…+a_n+1），
化简可得an+2-an+1=a2-a1=4，n∈N*，所以．
∴数列{a_n}的通项公式an=4n-3，n∈N*
（2）（必要性）若数列{a_n}是公比为q的等比数列，
则

B(n)

A(n)

=

a2+a3+…+an+1

a1+a2+…an

=q，

C(n)

B(n)

=

a3+a4+…+an+2

a2+a3+…an+1

=q，
所以A（n）、B（n）、C（n）组成公比为q的等比数列．
（充分性）：若对于任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），即a_n+2-qa_n+1=a₂-a₁．
由n=1有B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，从而a_n+2-qa_n+1=0．
因为a_n＞0，所以

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列．
综上可得，数列{a_n}是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的n∈N^*，都有A（n）、B（n）、C（n）组成公比为q的等比数列．