Question

19．已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=ln（x+1）．
（1）求函数φ（x）=g（x）+x+1平行于直线2x-y+1=0的切线方程；
（2）求函数F（x）=|f（x）|-g（x）的最小值；
（3）已知0≤y＜x，试比较f（x-y）与g（x）-g（y）的大小，并证明结论．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设出切点，由两直线平行的条件可得m的方程，解方程可得m=0，再由点斜式方程可得切线的方程；
（2）化简F（x），讨论x≥0，x＜0，求出导数，判断单调性，即可得到最小值；
（3）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性结合不等式的传递性，写出要证的结论．

解答 解：（1）函数φ（x）=g（x）+x+1=ln（x+1）+x+1的导数为
φ′（x）=$\frac{1}{x+1}$+1，
设切点为（m，n），即有1+$\frac{1}{1+m}$=2，解得m=0，
即有切点为（0，1），
则切线的方程为y=2x+1；
（2）函数F（x）=|f（x）|-g（x）=|e^x-1|-ln（1+x），
当x≥0时，F（x）=e^x-1-ln（1+x），F′（x）=e^x-$\frac{1}{1+x}$，
由e^x≥1，$\frac{1}{1+x}$≤1，则F′（x）≥0，F（x）递增，即有F（x）的最小值为F（0）=0；
当-1＜x＜0时，F（x）=1-e^x-ln（1+x），F′（x）=-e^x-$\frac{1}{1+x}$＜0，
即有F（x）递减，无最小值．
综上可得F（x）的最小值为0；
（3）g（x）-g（y）＜f（x-y）．
证明：令t（x）=g（x）-x=ln（1+x）-x，
t′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0，（x＞0），
则t（x）在x＞0递减，即有t（x）＜t（0）=0，
即有g（x）＜x，
由0≤y＜x，
得g（x）-g（y）≤x-y，
设h（x）=f（x）-x=e^x-x-1（x＞0）
h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞x
又∵x-y＞0，
∴f（x-y）＞x-y，
∴g（x）-g（y）≤x-y＜f（x-y）
∴g（x）-g（y）＜f（x-y）．

点评 本题是一个大型的函数综合题目，题目包含的知识点比较多，适合作为高考题中的一道压轴题目，注意题目中两次使用构造函数的思想，这是本题的闪光点．