Question

7．已知函数$f（x）=\frac{{4-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，若存在实数a，b，x∈R，a≤f（x）≤b，则b-a的最小值为5．

Answer 1

分析 由y=$f（x）=\frac{{4-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，求得 2^x=$\frac{4-y}{y+1}$＞0，由此求得函数的值域，从而求得b-a的最小值．

解答 解：令y=$f（x）=\frac{{4-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，
求得 2^x=$\frac{4-y}{y+1}$＞0，
∴$\frac{y-4}{y+1}$＜0，
解得-1＜y＜4，即-1＜f（x）＜4，
故函数f（x）的值域为（-1，4），
故b-a的最小值为4-（-1）=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查最值的求法，注意运用指数函数的值域和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．