Question

对于数列{a_n}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．
（1）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求证：数列{a_n}是以6为周期的周期数列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}满足a1=p∈[0， 

1

2

)，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，试判断{a_n}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{a_n}，又设数列{b_n}，其中bn=an+2n+

2009

2n

，问是否存在最小的自然数n（n∈N^*），使得对一切自然数m≥n，都有b_m＞2009？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）a_n+6=a_n+5-a_n-4=a_n+4-a_n+3-a_n-4=-a_n+3=-a_n+2+a_n+1=-（a_n+1-a_n）+a_n+1=a_n，得T=6，由此能求出 S₂₀₀₉=S₅=a₃=1003．
（2）当p=0时，a₁=a₂=0，a_n+1=-2a_n²+2a_n=0，即{a_n}是周期数列，由此能推导出数列{a_n}是递增数列，非周期数列．
（3）由S₂=a₁+a₂=a₁+1005=1007，知a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003，且数列{a_n}是周期为6的周期数列，由此能推导出存在最小的自然数n=1506，对一切自然数m，当m≥n=1506，都有b_m＞2009．

解答：解：（1）a_n+6=a_n+5-a_n-4=a_n+4-a_n+3-a_n-4
=-a_n+3=-a_n+2+a_n+1=-（a_n+1-a_n）+a_n+1=a_n，
得T=6
所以，数列{a_n}是以6为周期的周期数列，
周期为任意正整数--（2分）
又由 

an+2=an+1-an S2=1007 S3=2010

，
得a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003S₆=0，
且数列{a_n}是以6为周期的周期数列，
所以，S_6n=0，
所以 S₂₀₀₉=S₅=a₃=1003--（3分）
（2）当p=0时，a₁=a₂=0，a_n+1=-2a_n²+2a_n=0，
即{a_n}是周期数列--（5分）
当p≠0，p∈(0，

1

2

)时，
an+1=-2

a

2 n

+2an═-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)
由已知a1=p∈[0， 

1

2

)，
且a_n+1=-2a_n²+2a_n，
可得a2∈[0，

1

2

)，
依此类推可得a_∈[0，

1

2

)（n∈N^*）
所以 a_n+1-a_n=-2a_n²+a_n=a_n（1-2a_n）＞0，所以a_n+1＞a_n
即数列{a_n}是递增数列，非周期数列；--（8分）
（3）由（1）知，S₂=a₁+a₂=a₁+1005=1007，
所以a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003，
且数列{a_n}是周期为6的周期数列，
所以（a_n）_max=1005（n∈N^*），（a_n）_min=-1005，
且 a_6n+1=2，a_6n+2=1003，a_6n+3=1005，a_6n+4=-2，
a_6n+5=-1005，a_6n+6=-1003，--（9分）
而当n≥12时，

2009

2n

∈(0，

1

2

)，
bn=an+2n+

2009

2n

≥2n-1005+

2009

2n

＞2009，
即2n≥2009+1005=30142n+

2009

2n

≥1004，
得n≥1507，即 n≥1507时，
都有b_n＞2009；--（12分）
又b1506=a1506+2×1506+

2009

21506

=2009+

2009

21506

＞2009b1505=a1505+2×1505+

2009

21505

=2007+

2009

21506

＜2009--（13分）
综上，存在最小的自然数n=1506，
对一切自然数m，当m≥n=1506，
都有b_m＞2009．--（14分）

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．