Question

（2012•福建模拟）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=1，AD=

3

，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱锥A′-BDC的体积；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得A′N⊥BD？若存在，请求出

BN

BC

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过已知条件证明CD⊥平面A'BD，然后证明CD⊥A'B．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，推出∠ADB=DBC=30°．求出S_△BDC，在Rt△A'BD中，过点A'做A'E⊥BD于E，说明A'E⊥平面BCD．说明是几何体的高，即可求解．
（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，过点E做EN∥DC交BC于点N，推出EN⊥BD，说明BD⊥平面A'EN，A'N⊥BD．即可证明在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD．

解答：满分（12分）．
解：（Ⅰ）∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD
∴CD⊥平面A'BD，…（2分）
又∵AB?平面A'BD，∴CD⊥A'B．      …（4分）
（Ⅱ）如图（1）在Rt△ABD中， BD=

AB2+AD2

=2．
∵AD∥BC，∴∠ADB=DBC=30°．
在Rt△BDC中， DC=BDtan30°=

2 3

3

．
∴S△BDC=

1

2

BD•DC=

2 3

3

．…（6分）
如图（2），在Rt△A'BD中，过点A'做A'E⊥BD于E，∴A'E⊥平面BCD．
∵A′E=

A′B•A′D

BD

=

3

2

，…（7分）
∴VA′-BDC=

1

3

•S△BDC•A′E=

1

3

•

2 3

3

•

3

2

=

1

3

．…（8分）
（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，理由如下：
如图（2）在Rt△A'EB中，BE=

A′B2-A′E2

=

1

2

，
∴

BE

BD

=

1

4

，…（9分）
过点E做EN∥DC交BC于点N，则

BN

BC

=

BE

BD

=

1

4

，
∵CD⊥BD，∴EN⊥BD，…（10分）
又A'E⊥BD，A'E∩EN=E，∴BD⊥平面A'EN，
又A'N?平面A'EN，∴A'N⊥BD．
∴在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，此时

BN

BC

=

1

4

．…（12分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．