Question

12．已知定义域为R的函数f（x）=x³+（a-1）x²+b+1，（其中a，b是常数）满足 f（-x）+f（x）=0．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明你的结论；
（3）若对t∈[-1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²一k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出a，b的值即可；（2）先求出函数的解析式根据定义证明即可；（3）问题转化为k＞（3t²-2t）_max在t∈[-1，3]恒成立即可．

解答 解：（1）f（-x）+f（x）
=-x³+（a-1）x²+b+1+x³+（a-1）x²+b+1
=2（a-1）x²+2（b+1）=0，
∴a=1，b=-1，
（2）由（1）得：f（x）=x³是增函数，
证明如下：
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}$-${{x}_{2}}^{3}$=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$），
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
同理可证f（x）在（-∞，0]上递增，
故f（x）在R上递增；
（3）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0在t∈[-1，3]恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）为奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k）
由（2）得，f（x）在定义域内为单调递增函数，
∴t²-2t＜-2t²+k，
即3t²-2t-k＜0在t∈[-1，3]恒成立，
即k＞（3t²-2t）_max在t∈[-1，3]恒成立，
令g（t）=3t²-2t=3${（t-\frac{1}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{3}$，
∴g（t）在[-1，$\frac{1}{3}$）递减，在（$\frac{1}{3}$，3]递增，
∴g（t）_max=g（3）=21
∴k＞21．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．