Question

给出下列四个结论：
①已知△ABC中，三边a，b，c满足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则∠C等于120°．
②若等差数列a_n的前n项和为S_n，则三点(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线．
③等差数列a_n中，若S₁₀=30，S₂₀=100，则S₃₀=210．
④设f(x)=

1

2x+ 2

，则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值为

9 2

2

．
其中，结论正确的是

 

．（将所有正确结论的序号都写上）

Answer 1

分析：①利用平方差公式及完全平方公式化简已知的等式后得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的关系式代入即可求出cosC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
②利用第1和2点的坐标表示出确定直线的斜率，利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率；然后再利用第3和2点的坐标表示出确定直线的斜率，利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率，判断求得的斜率相等与否，即可得到三点共线与否；
③根据等差数列的性质可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差数列，列出2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），将S₁₀和S₂₀的值代入即可求出S₃₀的值；
④先求出f（x）+f（1-x）的值，然后把所求的式子自变量相加为1的两项结合得到之和为f（x）+f（1-x）的值的9倍，即可求出所求式子的值．

解答：解：①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）²-c²=3ab，化简得：a²+b²-c²=ab，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，根据C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此选项错误；
②因为

S10

10

=

10a1+ 10×9 2 d

10

=a₁+

9

2

d，同理

S100

100

=a₁+

99

2

d，

S110

110

=a₁+

109

2

d，
则

S100 100 - S10 10

100-10

=

(a1+ 99 2 d)-(a1+ 9 2 d)

90

=

d

2

=

S110 110 - S100 100

110-100

=

(a1+ 109 2 d)-(a1+ 99 2 d)

10

=

d

2

，
所以三点(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线．此选项正确；
③根据等差数列的性质可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差数列，
得到：2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），将S₁₀=30，S₂₀=100，
代入得：2（100-30）=30+（S₃₀-100），解得：S₃₀=210．此选项正确；
④因为f（x）+f（1-x）=

1

2x+ 2

+

1

21-x+ 2

=

1

2x+ 2

+

2x

2 + 2 •2x

=

2

2 (2x+ 2 )

+

2x

2+ 2 •2x

=

2 +2x

1 + 2 •2x

=

2 +2x

2 ( 2 +2x)

=

2

2

，
则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=

2

2

×9=

9 2

2

．此选项正确．
所以，正确的结论序号有：②③④．
故答案为：②③④

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及余弦定理化简求值，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，利用归纳总结找规律的方法求函数的值，是一道综合题．