Question

用数学归纳法证明：当x＞-1，n∈N⁺时，（1+x）ⁿ≥1+nx．

Answer 1

解：因为（1+x）ⁿ≥1+nx为关于n的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
当n=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
则当n=k+1时，
∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．
分析：要证明当x＞-1时，（1+x）ⁿ≥1+nx，先证明n=1时，（1+x）ⁿ≥1+nx成立，再假设n=k时，（1+x）ⁿ≥1+nx成立，进而证明出n=k+1时，（1+x）ⁿ≥1+nx也成立，即可得到对于任意正整数n：当x＞-1时，（1+x）ⁿ≥1+nx．
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．