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已知动圆C经过点F(0,1),并且与直线y=-1相切,若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点,则圆C的面积( )
A.有最大值为π
B.有最小值为π
C.有最大值为4π
D.有最小值为4π
【答案】分析:因为直线3x-4y+20=0与圆C有公共点,则直线与圆相切或相交,而点F(0,1)在直线3x-4y+20=0的下方,所以直线3x-4y+20=0与圆相切时圆最小,再求得此时的半径,从而求得面积.
另外,本题还可根据由于圆经过点F(0,1)且与直线y=-1相切,所以圆心C到点F与到直线y=-1的距离相等,由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y,根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解本题.
解答:解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
则根据题意:
解得:r=2
故最小的圆的面积是4π
解法二:由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y,设C点坐标为(x,),
∵⊙C过点F,∴半径r=|CF|==
直线3x-4y+20=0圆C有公共点,即转化为点(x,)到直线3x-4y+20=0的距离d=
解得x≥或x≤-2,从而得圆C的半径r=+1≥2,故圆的面积有最小值4π.
点评:本题主要考查点与圆、线与圆的位置关系在求圆的方程中的应用.
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