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已知圆C过点M(5,2)、N(3,2),且圆心在直线y=2x-3上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)求圆C过点P(4,4)的最短弦所在的直线方程.
【答案】分析:(Ⅰ)由M与N的坐标求出直线MN的方程,求出直线MN垂直平分线的方程,因为MN为圆中的弦,故圆心必然在直线MN的垂直平分线上,所以把直线MN垂直平分线的方程与已知直线联立组成方程组,求出方程组的解得到圆心坐标,利用两点间的距离公式求出圆心到M的距离即为圆的半径,根据圆心与半径写出圆的标准方程即可;
(Ⅱ)过P最短的弦所在直线即为与直径垂直的弦所在的直线,故由圆心C和P的坐标得到直径所在直线CP的方程,根据两直线垂直时满足的关系即可得到所求直线的方程.
解答:解:(Ⅰ)∵M(5,2)、N(3,2),
∴直线MN的方程为:y=2,又弦MN的中点坐标为(4,2)
∴弦MN的垂直平分线方程为:x=4,
与直线方程y=2x-3联立解得:y=5,
∴圆心C的坐标为(4,5),
又半径|CM|==
则圆C的方程为:(x-4)2+(y-5)2=10;  (6分)

(Ⅱ)∵直径所在的直线CP的方程为x=4,
∴圆C过点P(4,4)的最短弦所在的直线方程为:y=4.   (12分)
点评:此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:中点坐标公式,两直线垂直时满足的关系,以及垂径定理,要求学生会根据圆心坐标及半径写出圆的标准方程,第二问要求学生掌握过圆内一点,最长的弦为直径,最短的弦为过该点直径垂直的弦.
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