Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O₁O₂的延长线相交于点C，延长AP交⊙O₂于点D，点E在AD延长线上，
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明△ABP是直角三角形，可以根据切线的性质，证明∠APB=90°即可
（2）求的值，可以找到它们与已知线段的关系，通过求PB，证明△PBC∽△APC得出．
解答：（1）证明：连接PB，OA，OB，
∵AB为公切线，∴∠1=∠O₁，∠2=∠PO₂B
∵O₁A∥O₂B，∴∠O₁+∠PO₂B=180°，∴∠1+∠2=90°，
∴∠APB=90°，∴△ABP是直角三角形．
（2）作内公切线PH，交AB于H，则AH=PH=HB，
∴∠APB=90°，∠DPB=90°，
∴DB为⊙O直径，∴DB⊥AB于B，∴Rt△ABD中，BP为斜边AD上的高，
∴PB²=AP•DP=4×=9，∴PB=3，∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5，
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C，∴∠PBC=∠APC，
又∵∠6=∠6，∴△PBC∽△APC，∴==，
又∵BP⊥AE于P，∴∠3+∠4=90°，
∵AB为公切线，∴O₂B⊥AB于B，∴∠2+∠5=90°，
又∵O₂P=O₂B，∴∠4=∠5，∴∠2=∠3．
由（1）知△APB∽△ACE，∴∠E=∠2，∴∠3=∠E，∴PC=EC．
∴=．
点评：本题综合考查了圆与圆的位置关系、圆心角和圆周角的关系、切线的性质、相似三角形的判定和性质等多个知识点．