Question

如图,直三棱柱ABCA′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为
A′B和B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)

Answer 1

（1）见解析  （2）

解析(1)证明:法一　连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱,
所以M为AB′的中点.

又因为N为B′C′的中点,
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′,AC′?平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
法二　取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,
因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,
所以MP∥AA′,PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN?平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.
(2)解:连接BN,如图所示,
由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N=B′C′=1,
故====.