【题目】设函数f(x)= .
(1)当m=4时,求函数f(x)的定义域M;
(2)当a,b∈RM时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
【答案】
(1)解:当m=4时,由|x+1|+|x﹣1|≥4,
等价于 或 或 ,
解得x≤﹣2或x≥2或x∈.
则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}
(2)解:证明:当a,b∈CRM时,即﹣2<a,b<2,
所以4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)
=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=(a2﹣4)(4﹣b2)<0,所以4(a+b)2<(4+ab)2,
即2|a+b|<|4+ab|
【解析】(1)由题意和二次根式的被开方数非负,可得|x+1|+|x﹣1|≥4,运用绝对值的意义和对x讨论,解不等式即可得到所求定义域;(2)可得﹣2<a,b<2,要证2|a+b|<|4+ab|,可证4(a+b)2<(4+ab)2 , 作差4(a+b)2﹣(4+ab)2 , 运用平方差和因式分解,即可得证.
【考点精析】利用函数的定义域及其求法对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零.
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【题目】某市今年出现百年不遇的旱情,广大市民自觉地节约用水.市自来水厂观察某蓄水池供水情况以制定节水措施,发现某蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水量为吨,现在开始向水池注水并向居民小区供水.
(1)请将蓄水池中存水量S表示为时间t的函数;
(2)问开始蓄水后几小时存水量最少?
(3)若蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水量紧张现象,问每天有几小时供水紧张?
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【题目】已知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足f(x)= e2x﹣2+x2﹣2f(0)x,且g′(x)+2g(x)<0,则下列不等式成立的是( )
A.f(2)g(2015)<g(2017)
B.f(2)g(2015)>g(2017)
C.g(2015)>f(2)g(2017)
D.g(2015)>f(2)g(2017)
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【题目】设函数f(x)=x2﹣aln(x+2),g(x)=xex , 且f(x)存在两个极值点x1、x2 , 其中x1<x2 .
(1)求实数a的取值范围;
(2)求g(x1﹣x2)的最小值;
(3)证明不等式:f(x1)+x2>0.
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【题目】已知圆C:x2+y2+10x+10y+34=0.
(Ⅰ)试写出圆C的圆心坐标和半径;
(Ⅱ)圆D的圆心在直线x=-5上,且与圆C相外切,被x轴截得的弦长为10,求圆D的方程;
(Ⅲ)过点P(0,2)的直线交(Ⅱ)中圆D于E,F两点,求弦EF的中点M的轨迹方程.
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【题目】椭圆C1: +y2=1,椭圆C2: (a>b>0)的一个焦点坐标为( ,0),斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点,线段AB的中点H的坐标为(2,﹣1).
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上一点,点M、N在椭圆C1上,且 ,则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况,随机访问了名教师.根据这名教师对该食堂的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为: , ,…, , .
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)从评分在的受访教师中,随机抽取2人,求此2人的评分都在的概率.
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