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已知Sn为数列{an}的前n项和,且有a1=1,Sn+1=an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=
n
4an
,其前n项和为 Tn,求证:
1
4
≤Tn<1.
考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)利用当n=1时,a2=S1+1=a1+1;当n≥2时,Sn+1=an+1(n∈N*),Sn-1+1=an,两式相减得an+1=2an,再利用等比数列的通项公式即可得出.
(2)由(1)知an=2n-1,可得bn=
n
4an
=
n
2n+1
,利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式,即可得出.
解答: (1)解:当n=1时,a2=S1+1=a1+1=2;
当n≥2时,Sn+1=an+1(n∈N*),Sn-1+1=an
两式相减得,an=an+1-an,即an+1=2an
又a2=2a1
∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
an=2n-1
(2)证明:由(1)知an=2n-1,∴bn=
n
4an
=
n
2n+1

∴Tn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1

1
2
Tn
=
1
23
+
2
24
+…+
n-1
2n+1
+
n
2n+2

1
2
Tn
=
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
2n+1
-
n
2n+2

∴Tn=
1
2
+
1
22
+
…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
2+n
2n+1

∵Tn+1-Tn=(1-
3+n
2n+2
)-(1-
2+n
2n+1
)
=
n+1
2n+2
>0,
∴Tn+1>Tn
∴Tn是递增的,又T1=
1
4

1
4
≤Tn<1.
点评:本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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