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一个三棱柱的三视图及直观图如图所示,E,F,G分别是A1B,B1C1,AA1的中点,AA1⊥底面ABC.
(1)求证:B1C⊥平面A1BC1
(2)求证:EF∥平面ACC1A1
(3)在BB1上是否存在一点M,使得GM+MC的长最短.若存在,求出这个最短值,并指出点M的位置;若不存在,请说明理由.
考点:直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题:空间位置关系与距离
分析:(1)利用直三棱柱的性质,只要证明B1C垂直与平面A1BC1的两条相交直线;
(2)连接A1C,AC1交于点O,连接OE,利用中位线的性质得到四边形OEFG为平行四边形,再由线面平行的判定定理可得;
(3)在BB1上存在一点M,使得GM+MC的长最短.通过勾股定理求得.
解答: (1)证明:∵AA1⊥平面ABC,AA1∥CC1
∴CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥AC,∵AC⊥BC,
∴AC⊥平面BCC 1B 1,…(2分)
∵AC∥A1C1
∴A1C1⊥平面BCC 1B 1
∴A1C1⊥B1C…(3分)
又B1C⊥BC1,A1C1∩BC1=C1
∴B1C⊥平面A1BC1…(5分)
(2)连接A1C,AC1交于点O,连接OE…(6分)
由题意可得,O为A1C中点,
因为E为A1B中点,∴OE∥
1
2
CB
并且OE=
1
2
CB

因为F为C1B1的中点中点,∴C1F∥
1
2
CB
C1F=
1
2
CB

∴OE∥C1F,OE=C1F
∴四边形OEFG为平行四边形…(8分)
∴FE∥OC1…(9分)
∵FE?平面ACC1A1,OC1?平面ACC1A1
∴FE∥平面ACC1A1…(10分)
(3)在BB1上存在一点M,使得GM+MC的长最短,此时沿CC1展开,时G,M,C在一条直线上.
最短值为GC=
(a+
2
a)2+(
a
2
)2
=
13+8
2
2
a

此时BM=
2
-1
2
a
…(14分)
点评:本题考查了直三棱柱的性质、线面平行的判定定理以及线段最短问题,属于中档题.
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5
2
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A、
1
2
B、
π
4
C、
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4
D、
π2-2
4

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1
3
 
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a
b
c
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a
b
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c
=x
a
+y
b
,则实数x+y的取值范围是(  )
A、[-1,1]
B、[0,1]
C、[-
2
2
]
D、[0,
2
]

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