Question

如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
（1）求证：CD∥平面EFGH；
（2）如果AB=CD=a，求证：四边形EFGH的周长为定值．

Answer 1

分析：（1）由空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形，知EF∥GH，由此能够证明CD∥平面EFGH．
（2）由空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．AB=CD=a，推导出

EF+FG

a

=1，由此能推导出四边形EFGH的周长为定值．

解答：证明：（1）∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH，
又∵EF?平面BDC，GH?平面BDC，
∴EF∥平面BDC，
∵EF?平面ADC，
平面ADC∩平面BDC=DC，
∴EF∥DC，又CD?平面EFGH
∴CD∥平面EFGH．
（2）∵空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形．
AB=CD=a，
∴

AF

AC

=

EF

CD

，

CF

AC

=

FG

AB

，
∴

AF

AC

+

CF

AC

=

EF

CD

+

FG

AB

，
∵AB=CD=a，

AF

AC

+

CF

AC

=1，

EF

CD

+

FG

AB

=

EF+FG

a

，
∴

EF+FG

a

=1，
∴EF+FG=a，
∴四边形EFGH的周长=2a．
故四边形EFGH的周长为定值．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四边形的周为定值的证明，解题时要认真审题，注意空间相象力的培养，