Question

已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

Answer 1

解法一：（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

=

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

取，

则．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设，

则

，

当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．