Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
（1）求直线BD的方程；
（2）已知抛物线C：x²=2py（p＞0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d₁，点Q到抛物线C的准线的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．
（3）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（4）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点P，B在椭圆上，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$，可得点B的坐标，利用两点式，我们可以求直线BD的方程；
（2）d₁+d₂=|QF|-1+|QA|≥|AF|-1；
（3）确定过P，A，B三点的圆C的圆心与半径，求出圆心到直线BD的距离，由此，我们可以得到直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；
（4）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y=x-1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且|PM|=|PN|，从而就可以得出结论

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$，且A（3，0），所以|BP|=|DA|=2，
因为$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$，及BP与x轴平行，即可得B，P关于y轴对称，
所以点P的横坐标为1，从而得P（1，2），B（-1，2）…（3分）
所以直线BD的方程为x+y-1=0…（5分）
（2）由抛物线x²=$\frac{1}{2}$y，可得焦点F（0，$\frac{1}{8}$）．A（3，0）
则|AF|=$\sqrt{9+\frac{1}{64}}$=$\frac{\sqrt{577}}{8}$．
∴d₁+d₂=|QF|-1+|QA|≥|AF|-1．
∴d₁+d₂的最小值=$\frac{\sqrt{577}}{8}$-1；（7分）
（3）线段BP的垂直平分线方程为x=0，线段AP的垂直平分线方程为y=x-1，
所以圆C的圆心为（0，-1），且圆C的半径为$\sqrt{10}$…（8分）
又圆心（0，-1）到直线BD的距离为$\sqrt{2}$，
所以直线BD被圆C截得的弦长为2$\sqrt{10-2}$=4$\sqrt{2}$…（10分）
（4）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，
则点M一定在y轴上，点N一定在线段PA的垂直平分线y=x-1上，
当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且|PM|=|PN|…（12分）
设M（0，b），则N（2，4-b），根据N（2，4-b）在直线y=x-1上，
∴4-b=2-1，∴b=3…（14分）
∴M（0，3），N（2，1），|PM|=|PN|=$\sqrt{2}$，
故存在这样的两个圆，且方程分别为x²+（y-3）²=2，（x-2）²+（y-1）²=2…（16分）

点评 求直线方程的关键是求出点的坐标，求圆中的弦长要充分利用圆的性质，对于探究性问题，总是假设存在，再确定是否存在．