Question

判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|-|x-1|；
（2）f（x）=（x-1）•

1+x 1-x

；
（3）f（x）=

1-x2

|x+2|-2

；
（4）f（x）=

x(1-x) (x＜0) x(1+x) (x＞0).

Answer 1

分析：（1）函数的定义域是（-∞，+∞），关于原点对称，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数．
（2）其定义域不对称于原点，既不是奇函数也不是偶函数．
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断，定义域为[-1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．
（4）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，有-x＜0，f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．

解答：解：（1）函数的定义域x∈（-∞，+∞），对称于原点．
∵f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x），
∴f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函数．
（2）先确定函数的定义域．由

1+x

1-x

≥0，得-1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断．
由

1-x2≥0 |x+2|-2≠0

得

-1≤x≤1 x≠0且x≠-4.

故f（x）的定义域为[-1，0）∪（0，1]，关于原点对称，且有x+2＞0．从而有f（x）=

1-x2

x+2-2

=

1-x2

x

，这时有f（-x）=

1-(-x)2

-x

=-

1-x2

x

=-f（x），故f（x）为奇函数．
（4）∵函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，有-x＜0，
∴f（-x）=（-x）[1-（-x）]=-x（1+x）=-f（x）（x＞0）．
当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=-x（1-x）=-f（x）（x＜0）．
故函数f（x）为奇函数．

点评：（1）分段函数的奇偶性应分段证明．
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式．