Question

【题目】已知命题p：函数 在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程 表示的焦点在y轴上的椭圆．
（1）当p为真命题时，求m的取值范围；
（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

∴ ，

当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，

当p为真命题时， ，

解得：0≤m≤2

（2）解：若q为真命题，则：

5﹣m＞m﹣1＞0，

解得：1＜m＜3

若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，

故 ，或

解得：0≤m≤1或2＜m＜3

【解析】（1）当p为真命题时，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．