Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°，证明：C₁C⊥BD；

Answer 1

证明：连接A₁C₁、AC，AC和BD交于点O，连接C₁O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C是公共边，∴△C₁BC≌△C₁DC，∴C₁B=C₁D
∵DO=OB，∴C₁O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C₁O=O
∴BD⊥平面AC₁，又C₁C?平面AC₁，∴C₁C⊥BD．
分析：连接A₁C₁、AC，AC和BD交于点O，连接C₁O，证明△C₁BC≌△C₁DC，证明C₁O⊥BD，AC⊥BD，AC∩C₁O=O
说明BD⊥平面AC₁，从而证明C₁C⊥BD．
点评：本题是中档题，考查直线与直线垂直，通过证明直线与平面的垂直，实现直线与直线的垂直，考查转化思想．