Question

4．如图，圆柱OO₁的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO₁的截面，点P在$\widehat{{A}{B}}$上且$\widehat{{A}{P}}=\frac{1}{3}\widehat{{A}{P}{B}}$，Q为PD上任意一点．
（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若线段PD的长为$2\sqrt{3}$，求圆柱OO₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由圆柱得到结构特征可知AP⊥BP，AD⊥平面ABP，故AD⊥BP，于是BP⊥平面ADP，从而BP⊥AQ；
（2）由$\widehat{{A}{P}}=\frac{1}{3}\widehat{{A}{P}{B}}$得∠AO₁P=60°，于是△AO₁P是等边三角形，AP=2，在Rt△ADP中由勾股定理求出圆柱的高AD，代入体积公式．

解答 解：（1）∵AB是⊙O₁直径，∴AP⊥BP，
∵AD⊥平面ABP，BP?平面ABP，
∴AD⊥BP，
又∵AD∩AP=A，AD?平面ADP，AP?平面ADP，
∴BP⊥平面ADP，∵AQ?平面ADP，
∴BP⊥AQ．
（2）∵$\widehat{{A}{P}}=\frac{1}{3}\widehat{{A}{P}{B}}$，
∴∠AO₁P=60°，又∵O₁A=O₁P，
∴△AO₁P是等边三角形，
∴AP=O₁A=2，
∵AD⊥平面ABP，AP?平面ABP
AD⊥AP，∴AD═$\sqrt{D{P}^{2}-A{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴V${\;}_{圆柱O{O}_{1}}$=πO₁A²•AD=8$\sqrt{2}$π．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，圆柱的体积计算，属于基础题．