Question

已知函数f（x）=x³+bx²+（b²-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+

1

2

sinθ•x2-2x在 区间[-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）设φ（x）=f（x）-g（x），试证：对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由中心对称的性质：若函数y=f（x）关于点（a，f（a））对称，则f（a+c）+f（a-c）=2f（a），可得关于b的等式，然后整理可解b．
（Ⅱ）由函数单调性与导数的关系可得g′（2）≤0，由函数极值与导数的关系可得g′（1）=0，则整理这两个关系式即可求得sinθ的值与g（x）的解析式．
（Ⅲ）先由（Ⅰ）、（Ⅱ）求出φ（x）；然后利用导数的几何意义，只需证明对任意的x₁、x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂时，φ'（x）＞2即可；再根据二次函数的单调性易知（1，+∞）是φ'（x）的递增区间，显然φ'（x）＞φ'（1）=2．
则问题得证．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，f（x）+f（-x）=2，
即x³+bx²+（b²-1）x+1-x³+bx^2-（b²-1）x+1=2，解得b=0．
（Ⅱ）g'（x）=3ax²+sinθ•x-2
由

g′(-2)≤0 g′(1)=0

?

12a-2sinθ-2≤0 3a+sinθ-2=0

，消去a可得sinθ≥1，
从而sinθ=1，a=

1

3

，
∴sinθ=1，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x．
（Ⅲ）证明：φ(x)=f(x)-g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2+x+1
∴φ'（x）=2x²-x+1=2(x-

1

4

)2+

7

8

．
对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，
|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|?|φ'（x）|＞2．
而在（1，+∞）上，φ'（x）＞φ'（1）=2×

9

16

+

7

8

=2
∴对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

点评：本题考查中心对称的性质，函数单调性、极值与导数的关系，导数的几何意义等，知识的考查面较广．