Question

已知函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且y=f（x）的图象经过点（1，n²），n=1，2，…，数列{a_n}为等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）当n为奇数时，设，是否存在自然数m和M，使得不等式恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意得f（1）=n²，即a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²
令n=1，则a₀+a₁=1，
令n=2则a₀+a₁+a₂=2²，
a₂=4-（a₀+a₁）=3
令n=3则a₀+a₁+a₂+a₃=3²
a₃=9-（a₀+a₁+a₂）=5
设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₃-a₂=2，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（II）由（I）知：f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ
n为奇数时，f（-x）=-a₁x+a₂x²-a₃x³+…-a_nxⁿ
∴g（x）=[f（x）-f（-x）=a₁x+a₃x³+a₅x⁵…+a_nxⁿ
g（）=1×+①
+②
由①-②得：-（2n-1）×
∴g（）=＜
设
∵
∴c_n随n的增大而减小，又随n的增大而减小
∴g（）为n的增函数，
当n=1时，g（）=
而g（）＜
∴
易知：使m恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，
∴M-m的最小值为2．
分析：（1）根据条件中所给的函数式，给变量赋值得到数列前n项和与n之间的关系，给n赋值，得到含有数列前3的方程组，解方程组得到数列的前几项，得到首项和公差，写出通项．
（2）给函数式赋值，得到要用的函数值，而函数值是通过数列的和表示的，用到错位相减法来求数列的和，根据函数的单调性得到函数的值域，写出变量的取值，得到结果．
点评：数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．