精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
9.已知非零向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|,$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)=$\overrightarrow{b}$2,则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{5}{12}$.

分析 将$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)=$\overrightarrow{b}$2展开得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$关于${\overrightarrow{a}}^{2}$的表达式,再代入夹角公式计算即可.

解答 解:∵2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|,∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$=9${\overrightarrow{b}}^{2}$,即${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{a}}^{2}$,
∵$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)=$\overrightarrow{b}$2,∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{a}}^{2}$,
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{18}$${\overrightarrow{a}}^{2}$,
∴cos<$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$>=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{18}{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•\frac{2}{3}|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{12}$.
故答案为:$\frac{5}{12}$.

点评 本题考查了平面向量的数量积运算,夹角计算,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2015-2016学年陕西省高一下学期期末考数学试卷(解析版) 题型:解答题

设向量,函数.求函数的最小正周期与最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

1.从装有n个球(其中n-1个白球,1个黑球)的口袋中取出m个球(0<m≤n-1,m,n∈N*),共有$C_n^m$种取法.在这$C_n^m$种取法中,可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球,一类是取出的m个球中白球m-1个,则共有$C_1^0•C_{n-1}^m+C_1^1•C_{n-1}^{m-1}=C_1^0•C_n^m$,即有等式:$C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}=C_n^m({0<m≤n-1,m,n∈{N^*}})$成立.试根据上述思想化简下列式子:C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{k}^{1}$.C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{k}^{2}$.C${\;}_{n}^{m-2}$+…+C${\;}_{k}^{k}$.C${\;}_{n}^{m-k}$=${C}_{n+k}^{m}$.(1≤k<m≤n,k,m,n∈N)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知一圆台的母线长为13cm,在这个圆台中有一个半径为6cm的内切球,求这个圆台的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时.飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420秒后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取$\sqrt{2}=1.4$,$\sqrt{3}=1.7$).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=lnx上,则|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

1.给出下列四个命题:
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx<0”;
②若y=f(x)是奇函数,则y=|f(x)|的图象关于y轴对称;
③函数f(x)=log2(1-3x)的值域为(-∞,0)
④对任意实数x,有f(-x)=f(x),且当x>0时,f′(x)>0,则当x<0时,f′(x)<0
⑤若函数f(x)对任意x∈R满足f(x)•f(x+4)=1,则8是函数f(x)的一个周期;
其中的真命题是②③④⑤.(写出所有真命题的编号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.椭圆E的左右焦点为F1,F2,E上一点P到F1距离的最大值为7,最小值为1,则椭圆E的离心率的算术平方根为(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.$\frac{1}{7}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}+alnx(a为参数)$
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈(0,e]时,求函数f(x)的最小值;
(3)求证:${(1+\frac{1}{n})^n}<e<{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}(n∈{N^*})$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案