分析 将$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)=$\overrightarrow{b}$2展开得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$关于${\overrightarrow{a}}^{2}$的表达式,再代入夹角公式计算即可.
解答 解:∵2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|,∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$=9${\overrightarrow{b}}^{2}$,即${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{a}}^{2}$,
∵$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$)=$\overrightarrow{b}$2,∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{a}}^{2}$,
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{18}$${\overrightarrow{a}}^{2}$,
∴cos<$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$>=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{18}{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•\frac{2}{3}|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{12}$.
故答案为:$\frac{5}{12}$.
点评 本题考查了平面向量的数量积运算,夹角计算,属于中档题.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{1}{7}$ |
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