Question

数列{a_n}中，a₁=2,a₂=3,且{a_na_n+1}是以3为公比的等比数列，记b_n=a_2n-1+a_2n (n∈N^*).
(1)求a₃,a₄,a₅,a₆的值；
（2）求证：{b_n}是等比数列.

Answer 1

（1）a₃=6，a₄=9，a₅=18，a₆=27.（2）证明见解析

（1）解 ∵{a_na_n+1}是公比为3的等比数列，
∴a_na_n+1=a₁a₂·3^n-1=2·3ⁿ，
∴a₃==6，a₄==9，
a₅==18，a₆==27.
（2）证明 ∵{a_na_n+1}是公比为3的等比数列，
∴a_na_n+1=3a_n-1a_n，即a_n+1=3a_n-1，
∴a₁，a₃，a₅,…，a_2n-1，…与a₂,a₄,a₆，…，a_2n，…都是公比为3的等比数列.
∴a_2n-1=2·3^n-1,a_2n=3·3^n-1，
∴b_n=a_2n-1+a_2n=5·3^n-1.
∴==3，故{b_n}是以5为首项，3为公比的等比数列.