精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知定义域为R的函数y=f(x),满足f(2+x)=f(2-x).

(1)求证:函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;

(2)若方程f(x)=0有三个实根,且一个根为0,求另外两根;

(3)若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.

答案:
解析:

  理:(1)p(x0,y0)是y=f(x)的图象上任一点,则y0=f(x0)

  点p(x0,y0)关于直线x=2的对称点是(4-x0,y0).

  f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0

  (4-x0,y0)也在函数y=f(x)的图象上

  y=f(x)的图象关于直线x=2对称.

  (2)x=0是方程f(x)=0的一个根,

  f(0)=0.

  又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0,x=4是方程的一个根.

  设x0是方程的另一个根,则f(X0)=0

  由f(x0)=f[2+(x0-2)]=f[2-(x0-2)]=f(4-x0)

  4-x0=x0 x0=4.

  方程的另两个根是2,4.

  (3)设x[-2,0],则-x[0,2],又x[0,2],f(x)=2x-1

  f(-x)=-2x-1,又f(x)为偶函数

  f(x)=f(-x)=-2x-1.

  又f(x+4)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x)

  f(x)是以4为周期的周期函数.

  当x[-4,-2]时,x+4[0,2],

  f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1=2x+7

  f(x)=

  解:(1)∵对于任意x∈R,都有f(x)-x≥0,且当x∈(0,2)时,

  有f(x)≤.令x=1

  ∴1≤f(1)≤

  即f(1)=1. 5分

  (2)由a-b+c=0及f(1)=1.

  有,可得b=a+c=. 7分

  又对任意x,f(x)-x≥0,即ax2x+c≥0.

  ∴a>0且Δ≤0.

  即-4ac≤0,解得ac≥. 9分

  (3)由(2)可知a>0,c>0.

  a+c≥2≥2·. 10分

  当且仅当时等号成立.此时

  a=c=. 11分

  ∴f(x)=x2x+

  F(x)=f(x)-mx=[x2+(2-4m)x+1]. 12分

  当x∈[-2,2]时,f(x)是单调的,所以F(x)的顶点一定在[-2,2]的外边.

  ∴≥2. 13分

  解得m≤-或m≥. 14分


练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•石家庄二模)已知定义域为R的函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+1)为偶函数,则(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=5,若f(2)=3,则f(2012)=
5
3
5
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x)的对称轴为x=4,则(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为R的函数f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函数
(1)求a值;
(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围;
(4)设关于x的函数F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零点,求实数b的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为R的函数f(x)满足f(4-x)=-f(x),当x<2时,f(x)单调递减,如果x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案