已知定义域为R的函数y=f(x),满足f(2+x)=f(2-x).
(1)求证:函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
(2)若方程f(x)=0有三个实根,且一个根为0,求另外两根;
(3)若f(x)又是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
理:(1)p(x0,y0)是y=f(x)的图象上任一点,则y0=f(x0) 点p(x0,y0)关于直线x=2的对称点是(4-x0,y0). f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0. 点(4-x0,y0)也在函数y=f(x)的图象上 y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (2)x=0是方程f(x)=0的一个根, f(0)=0. 又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0,x=4是方程的一个根. 设x0是方程的另一个根,则f(X0)=0 由f(x0)=f[2+(x0-2)]=f[2-(x0-2)]=f(4-x0) 4-x0=x0 x0=4. 方程的另两个根是2,4. (3)设x[-2,0],则-x[0,2],又x[0,2],f(x)=2x-1 f(-x)=-2x-1,又f(x)为偶函数 f(x)=f(-x)=-2x-1. 又f(x+4)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x) f(x)是以4为周期的周期函数. 当x[-4,-2]时,x+4[0,2], f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1=2x+7 f(x)=. 解:(1)∵对于任意x∈R,都有f(x)-x≥0,且当x∈(0,2)时, 有f(x)≤.令x=1 ∴1≤f(1)≤. 即f(1)=1. 5分 (2)由a-b+c=0及f(1)=1. 有,可得b=a+c=. 7分 又对任意x,f(x)-x≥0,即ax2-x+c≥0. ∴a>0且Δ≤0. 即-4ac≤0,解得ac≥. 9分 (3)由(2)可知a>0,c>0. a+c≥2≥2·=. 10分 当且仅当时等号成立.此时 a=c=. 11分 ∴f(x)=x2+x+, F(x)=f(x)-mx=[x2+(2-4m)x+1]. 12分 当x∈[-2,2]时,f(x)是单调的,所以F(x)的顶点一定在[-2,2]的外边. ∴≥2. 13分 解得m≤-或m≥. 14分 |
科目:高中数学 来源: 题型:
-2x+a | 2x+1 |
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