Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（1）若a≤0，讨论f（x）的单调性；
（2）若x=1是函数f（x）的极值点，
证明：当θ∈[0，

π

2

]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据a≤0，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间；
（2）由x=1时，f（x）有极值，得到f′（1）=0，即可得到a的值，再确定函数f（x）在[0，1]单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，将cosθ、sinθ代入即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x（ax²+x+1），
∴f′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]，
①当a=0时，f′（x）=e^x（x+2），令f′（x）＞0，可得x＞-2，令f′（x）＜0，可得x＜-2，
∴f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，f′（x）═ae^x（x+

1

a

）（x+2），
令f′（x）＞0，可得-2＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0，可得x＜-2或x＞-

1

a

，
∴f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递减，在（-2，-

1

a

）上单调递增．
综合①②，当a=0时，f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上单调递减，在（-2，-

1

a

）上单调递增；
（2））∵当x=1时，f（x）有极值，
∴f′（1）=0，
∴3ae（1+

1

a

）=0，解得a=-1，
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=-e^x（x-1）（x+2），
令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，
∴f（x）在[-2，1]上单调递增，
∴函数f（x）在[0，1]单调增，
∴f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1，
从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．
而当θ∈[0，

π

2

]时，cosθ，sinθ∈[0，1]．
从而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2，
故当θ∈[0，

π

2

]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论思想方法等基础知识与方法，同时考查了有关不等式的证明，需要较强的推理能力和计算能力．属于中档题．